Penyelesaian Persamaan Serentak Melalui Kaedah Penggantian

Persamaan serentak (simultaneous equation) dalam dua pemboleh ubah yang terdiri satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear boleh diselesaikan melalui kaedah penggantian (substitution method).

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Susun persamaan linear supaya satu daripada pembolehubah-pembolehubah itu menjadi perkara rumus bagi persamaan itu.
   
   
2. Gantikan persamaan baharu daripada langkah 1 ke dalam persamaan tak linear. Satu persamaan kuadratik dalam satu pembolehubah akan terbentuk.
   
   
3. Selesaikan persamaan kuadratik itu secara pemfaktoran, penyempurnaan kuasa dua atau dengan menggunakan rumus.
   
   
4. Gantikan nilai pembolehubah yang diperolehi daripada Langkah 3 ke dalam persamaan linear yang diperolehi dalam Langkah 1 untuk mencari nilai pembolehubah yang satu lagi.

Contoh 1

Selesaikan persamaan serentak:

x + 2y = 1

x² + 4y² = 13

Penyelesaian:

Nota: Nilai-nilai x dan y yang diperolehi boleh disemak dengan menggantikan nilai-nilai itu ke dalam persamaan (1) dan persamaan (2).

Contoh 2

Selesaikan persamaan serentak

Penyelesaian:

Persamaan Serentak Dalam Dua Pembolehubah

Persamaan linear (linear equation) ialah persamaan yang kuasa pembolehubahnya ialah satu. Misalnya, x + y = 4 dan 2x – y = 5 adalah persamaan-persamaan linear.

Persamaan tak linear (non-linear equation) ialah persamaan yang kuasa pembolehubahnya bukan satu. Misalnya, x² + y² = 6 dan 3xy – 5x = 1 adalah persamaan-persamaan tak linear.

Pertimbangkan persamaan x + y = 4 dan 2x – y = 5. Kedua-dua persamaan ini mengandungi dua pemboleubah (unknown) yang sama, iaitu x dan y, dan mempunyai satu penyelesaian sepunya, iaitu x = 3 dan y = 1. Dengan itu, kedua-dua persamaan ini ialah suatu persamaan serentak dalam dua pembolehubah.

Dengan kata lain, persamaan serentak dalam dua pembolehubah ialah dua persamaan atau lebih dalam dua pembolehubah yang mempunyai penyelesaian sepunya.

Fungsi Kuadratik dan Grafnya

Bentuk am fungsi kuadratik (general form of quadratic function) ialah f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, dimana a ≠ 0.

Fungsi kuadratik mempunyai pembolehubah dengan kuasa tertingginya ialah 2.

Contoh 1

Tentukan samada setiap fungsi yang berikut ialah fungsi kuadratik atau tidak.

a) f(x) = 5 – 4x + x²

b) f(x) = x²(7 – x)

Penyelesaian:

a) f(x) = 5 – 4x + x² ialah satu fungsi kuadratik kerana kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

b) f(x) = x²(7 – x) = 7x² – x³

f(x) = x²(7 – x) bukan satu fungsi kuadratik kerana kuasa tertinggi bagi x ialah 3.

Bentuk Graf Fungsi Kuadratik

Bentuk graf bagi fungsi kuadratik dikenali sebagai parabola.

Parabola ialah satu lengkung yang licin dan bersimetri.

Contoh 2

x	−1	0	1	2	3	4	5
f(x)	8	3	0	−1	0	3	8

Jadual di atas menunjukkan nilai-nilai x dan f(x) bagi graf f(x) = x² – 4x + 3. Plotkan graf f(x) bagi nilai x dalam julat −1 ≤ x ≤ 5.

Penyelesaian:

Contoh 3

Dengan membina satu jadual, plot graf f(x) = −x² + x + 6 bagi nilai x dalam julat −3 ≤ x ≤ 4.

Penyelesaian:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
f(x)	−6	0	4	6	6	4	0	−6

Secara am, graf fungsi kuadratik ialah f(x) = ax² + bx + c berbentuk seperti yang berikut.

Apabila a > 0,

Apabila a < 0,

Garis Lurus Penyuaian Terbaik

Semasa para penyelidik menjalankan ujikaji, data-data yang diperolehi kebiasaannya mengaitkan dua atau lebih pembolehubah (variable). Kadang-kadang data yang diperoleh itu dapat disuaikan dengan suatu garis lurus.

Maka, terdapat satu hubungan linear antara dua pembolehubah itu.

Melukis Garis Lurus Penyuaian Terbaik

Garis lurus penyuaian terbaik (line of best fit) menyambungkan kebanyakan titik yang diplot pada graf.

Titik-titik yang terletak pada garis lurus penyuaian terbaik itu bertaburan secara seimbang pada kedua-dua belah garis lurus itu.

Rajah di atas menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik, L, yang mengaitkan pembolehubah Y dengan pembolehubah X. Persamaan yang mengaitkan Y dengan X ialah;